각종 적성시험을 준비하다 보면 명제를 공부할 필요를 느끼게 됩니다. 물론 깊이 있게 공부할 것까지는 없지만, 기본 내용 정도는 알아두면 문제를 풀기 수월합니다. 아래에 명제에 대한 기본적인 내용을 정리해 놓았습니다.
1. 명제의 정의와 역, 이, 대우
(1) 명제: 참, 거짓을 판단할 수 있는 의미있는 평서문을 말합니다.
(2) 명제의 역, 이, 대우: 조건 명제 p→q에서,
1) p, q는 각각 조건으로 p를 전(조)건, q를 후(조)건이라 합니다.
2) →로 연결됨으로써 p는 가정, q는 결론이 됩니다(“p이면 q이다.”). p→q가 참이면 p⇒q, 거짓이면 p⇏q로 표시합니다.
3) p, q는 각각 명제이기 때문에 조건 명제인 ‘p→q’는 합성 명제입니다.
4) 명제 p→q의 가정과 결론의 순서를 바꾸어 만든 조건문 q→p를 원래 조건 명제의 역 또는 역 명제라고 합니다.
명제 p→q의 가정과 결론을 각각 부정한 조건문 ~p→~q를 원래 조건 명제의 이 또는 이 명제라고 합니다.
그리고 명제 p→q의 가정과 결론을 각각 부정하여 역으로 바꾼 조건문 ~q→~p를 원래 조건 명제의 대우 또는 대우 명제라고 합니다.
5) 원래 명제와 대우 명제는 논리적으로 서로 동치이고, 역 명제와 이 명제도 논리적으로 서로 동치입니다.
2. 충분조건, 필요조건, 필요충분조건
(1) 정의
1) 충분조건: 조건 명제 ‘p→q’가 참일 때, “조건 p는 조건 q가 성립하기 위한 충분조건이다”라고 합니다. 기호로는 p⇒q입니다. 이것은 p만 성립하면 ‘충분히’ q가 성립하기 때문입니다.
2) 필요조건: 조건 명제 ‘p→q’가 참일 때 “조건 q는 조건 p가 성립하기 위한 필요조건이다”라고 합니다. 기호로는 p⇒q입니다. 이것은 p가 성립하기 위해서는 먼저 q가 성립할 ‘필요’가 있기 때문입니다. 흔히 사용되는 ‘(필)요(조)건’이라는 표현을 떠올리면 쉽게 이해됩니다.
3) 필요충분조건: 조건 p, q에 대해 쌍조건 명제 ‘p↔︎q’가 항상 참이면 “조건 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.”라고 합니다. 기호로는 p⇔q입니다. p가 q이기 위한 필요충분조건이면 p는 q이기 위한 필요조건이면서 동시에 충분조건입니다. 역으로 p가 q이기 위한 필요조건이면서 동시에 충분조건이면 p는 q이기 위한 필요충분조건입니다. 쌍조건 명제의 대칭성에 의해 p가 q이기 위한 필요충분조건이면 q도 p이기 위한 필요충분조건입니다.
(2) 진리 집합과의 관계
조건 p(x)를 만족시키는 모든 x∈P의 집합을 진리 집합이라고 합니다. p(x)와 q(x)의 진리 집합을 각각 P, Q라고 하면,
1) 충분조건: P⊂Q인 것과 “p(x)는 q(x)가 성립하기 위한 충분조건”이라는 것은 같은 의미입니다.
2) 필요조건: P⊂Q인 것과 “q(x)는 p(x)가 성립하기 위한 필요조건”이라는 것은 같은 의미입니다.
3) 필요충분조건: P=Q인 것과 “p(x)가 q(x)이기 위한 필요충분조건”이라는 것은 같은 의미입니다.